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MessagePosté le: Dim 30 Oct - 16:13 (2011)    Sujet du message: PGCD Répondre en citant


 

 
PGCD
Le PGCD de deux nombres, c'est le Plus Grand Commun Diviseur aux deux nombres. Le PGCD de 42 et 49 est 7 car c'est le plus grand nombre qui divise à la fois 42 et 49 en donnant pour résultat des nombres entiers. Le PGCD de 43 et 49 est 1 car il n'existe pas de nombre plus grand que 1 qui divise à la fois 43 et 49. Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux.

Calcul du PGCD
L'algorithme d'Euclide permet de calculer le PGCD de deux nombres. Méthode : on exprime d'abord le plus grand nombre avec un multiple du plus petit et un reste. Puis on exprime le plus petit en fonction du reste et d'un nouveau reste. On continue ce procédé jusqu'à ce que l'on arrive à reste nul. Le der
nier reste non nul est alors le PGCD des deux nombres du départ.
  
Exemple : Calcul du PGCD de 556 et 148 :  

  

  
Le PGCD de 556 et 148 vaut donc 4.
  


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Dernière édition par Admin le Jeu 3 Nov - 22:28 (2011); édité 1 fois
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MessagePosté le: Dim 30 Oct - 16:13 (2011)    Sujet du message: Publicité

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MessagePosté le: Dim 30 Oct - 16:14 (2011)    Sujet du message: PGCD Répondre en citant

Entraîne toi!  http://www.cmath.fr/3eme/pgcd/cours.php Okay   
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MessagePosté le: Dim 30 Oct - 16:18 (2011)    Sujet du message: PGCD Répondre en citant

Simplification de fraction 

 Le calcul du PGCD peut servir pour rendre une fraction irréductible. Pour cela, il faut calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur puis diviser le haut et le bas de la fraction par le PGCD obtenu. Par exemple pour simplifier la fraction
on calcule le PGCD de 312 et 845 puis on divise le haut le bas de la fraction par ce PGCD.
 
 
Donc on divise le numérateur et le dénominateur par 13, ce qui donne
  

 
Problème d'application du PGCD
Le calcul du PGCD peut servir pour résoudre certains problèmes. Par exemple si un commercant recoit 90 lampes de poches avec 135 ampoules et qu'il veut vendre des lots identiques sans qu'il ne lui reste d'ampoule ni de lampe, on peut se demander combien il devra utiliser d'ampoules et de lampes dans chaque lot. Le nombre de lots doit être un diviseur de 90 et également un diviseur de 135 car sinon il lui restera soit des lampes ou soit des ampoules. Pour obtenir le maximum de lots, il doit diviser 90 et 135 par le plus grand nombre possible. Il doit donc chercher le PGCD de 90 et de 135. Avec l'algorithme d'Euclide on trouve 45. Il doit donc élaborer 45 lots. Chaque lot comprendra 2 lampes et 3 ampoules. 

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MessagePosté le: Ven 4 Nov - 00:47 (2011)    Sujet du message: PGCD Répondre en citant



euclide





 Le nom d'Euclide se rattache à de nombreux concepts mathématiques, il s'agit cependant d'éviter tout anachronisme. Des appellations comme : distance euclidienne, espace vectoriel euclidien, espace localement euclidiennorme euclidienne, veulent rappeler que le contexte mathématique sous-jacent est compatible avec la géométrie élémentaire de ce grand (immense, génial) mathématicien. Shocked
une petite Introduction Cool  
Citation:
L’algorithme d’euclide est considéré comme étant le premier algorithme crée dans l’histoire. Comme son nom l’indique il fut crée par Euclide ( 325 Av JC - 265 Av JC). Célèbre mathématicien connu pour ses résultats de géométrie (la géométrie euclidienne). Il est aussi connu pour un algorithme très simple de calcul du PGCD de deux nombre. C’est ce que nous allons voir dans la suite. 
Le PGCD 
Citation:
Le PGCD de deux nombre est par définition le plus grand nombre k tel que k divise les deux nombres.
La première solution pour calculer le PGCD est simple mais longue à mettre en oeuvre
Wink

 elle consiste tout simplement à ecrire la liste de tous les facteurs de chaque nombre et d’identifier le plus grand des deux. Voici par exemple le calcul du pgcd de 34 et 170 :


Par identification on trouve PGCD(34,170) = 34.
Ceci parait simple mais très long à mettre en oeuvre, en effet, cherchez le PGCD de 32147957 et de 1289564247. Vous vous redrez compte que chercher les diviseurs de ces deux nombres est très long
Sad    (mais y a une solution  Idea ): 
Citation:


L’algorithme d’euclide repose sur des propriétés des divisions et du PGCD.
On a par définition : PGCD(0,X) = X et PGCD(X,0) = X
 
L’algorithme d’euclide 
Citation:
Soient A et B les deux nombres dont on veut chercher le PGCD. (on prendra A > B)
On effectue le quotient de A par B, appelons R le reste de la division. si R = 0 alors le résultat est évident : B est le PGCD.
Si R n’est pas nul alors on effectue le quotient de B par R. Appelons R1 le reste de cette division. Si R1 est nul alors le PGCD est R.
On recommence jusqu’a obtenir un reste nul.
L’algorithme d’euclide se termine toujours. En effet selon la propriété des divisions , on a :
On divise A par B alors :
A = BQ + R
Selon les propriétés des divisions on a : 0 <= R < B. Ainsi à chaque fois que l’on effectue une division le reste devient de plus en plus petit tout en étant strictement positif. Par conséquent il y a un moment ou le reste deviendra nul.
Maintenant que l’on a prouvé que l’algorithme se terminait il faut prouver que l’algorithme donne bien le bon résultat.
Soit P le PGCD de A et de B.
Effectuons la division de A par B :
A = BQ + R
on a aussi :
R = A - BQ
Ceci prouve aussi que P divise R, en effet :
R = A’P - B’PQ
R = (A’ - B’Q) P
Ainsi on peut donc dire que le PGCD de A et de B est égal au PGCD de B et de R. Et donc si R est nul alors B est le PGCD ce qui prouve bien l’algorithme. On peut effectuer les divisions successives.
Voici donc de manière formelle ce que nous venons de dire :
PGCD(A,B) = PGCD(B, A mod B)
C’est donc à partir de cette formule que nous deduisons l’algorithme :


Voici donc d’une manière récursive comment programmer l’algorithme d’Euclide   
Mr. Green
.
 


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MessagePosté le: Ven 4 Nov - 14:05 (2011)    Sujet du message: PGCD Répondre en citant

  

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