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MessagePosté le: Ven 24 Fév - 19:48 (2012)    Sujet du message: applications linéaires Répondre en citant


 

applications linéaires

Les applications linéaires constituent un chapitre considérable des mathématiques modernes, tant par sa densité au-delà de son développement propre comme le calcul matriciel, la théorie des déterminants, les formes quadratiques, les espaces fonctionnels, que par l'importance de son emploi dans les autres sciences (mais les mathématiques sont-elles une science ?) : recherche opérationnelle, sciences économiques, mécanique quantique, théorie de la relativité, du fait, en particulier, des nombreuses interventions des systèmes d'équations algébriques, différentielles ou aux dérivées partielles, dont la résolution utilise les applications linéaires et le calcul matriciel qui leur est lié.   
Dans toute la suite, on note + l'addition d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K (corps des scalaires) et au moyen d'un point (
) sa multiplication par un scalaire. Le contexte fera comprendre de quelle
loi de composition il s'agit. Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, le point est souvent omis. Le vecteur nul de E (neutre pour l'addition) est noté 0E. Dans un espace vectoriel de dimension finie n, une base sera souvent notée (b1, b2, ..., bn) ou (e1, e2, ...,en).

Application linéaire, forme linéaire :

On appelle ainsi un homomorphisme d'espaces vectoriels. C'est dire que si l'on appelle E et F deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif K (pour simplifier l'écriture, leurs lois sont notées identiquement), et f une telle application de E vers F :   
  • pour tout couple (x,y) de E2, f(x + y) = f(x) + f(y) : additivité
  • pour tout x de E, pour tout l de K, f(l . x) = l . f(x) : homogénéité
     

On déduit de ces deux axiomes de définition :

  • Pour tout couple (x,y) de E2, f(x - y) = f(x) - f(y)
  • f(0E) = 0F.
Cette dernière propriété de nullité en zéro est une importante condition nécessaire de linéarité car elle peut servir pour prouver facilement qu'une application n'est pas linéaire dans la mesure où elle n'est pas vérifiée.
   
On peut réunir les deux axiomes de définition en un seul : pour tout couple (x,y) de E2 et tout couple (l,m) de K2 : f(l . x + m . y ) = l . f(x) + m . f(y)
  • Un application linéaire bijective est appelée isomorphisme.
  • Lorsque E = F, l'application linéaire prend le nom d'endomorphisme (du grec endo = à l'intérieur). On parle également dans ce cas d'opérateur linéaire, mais cette dernière appellation persiste souvent même si E est distinct de F.
  • Un endomorphisme bijectif est appelé automorphisme (du grec autos = soi-même).
F peut peut être le corps K des scalaires de E : une application linéaire de E vers K prend alors le nom de
forme linéaire sur E. On parle aussi dans ce cas de fonctionnelle linéaire, mais cette appellation semble obsolète.   

   
On suppose E de dimension finie n sur K. Démontrer que E est isomorphe à Kn.
C'est bien évident, noter (b1, ..., bn) une base E. Tout élément v de E s'écrit v = x1b11 + ... + xnbn, et peut alors s'identifier au n-uplet (b1, ... , bn) de Kn et cette identification est bien clairement linéaire.
   

   
Exemples et contre-exemples :
   

   
Citation:
  R
est un espace vectoriel de dimension 1 sur lui-même; les applications linéaires f :
R
R
sont de la forme f(x) = ax. Les applications de la forme f(x) = ax + b avec b non nul ne sont pas linéaires; on parle d'application
affine. Leur représentation graphique est cependant une droite, comme pour les applications linéaires de R dans lui-même. 
 
  Abonnement
(exercice corrigé, fonctions affines niveau seconde).   
Citation:



 
Pour tout vecteur u d'un plan P, considéré comme un espace vectoriel de
dimension 2 sur R, on pose f(u) = 2u ; on définit ainsi un endomorphisme de P, appelée homothétie vectorielle de rapport 2.
 
Considérons dans un plan vectoriel (espace vectoriel de
dimension 2 sur R) rapporté à une base (i,j), l'application f qui à tout vecteur v(x,y) associe v'(2x - y, x + y). On vérifie facilement la linéarité de f.
 
Notons F l'espace vectoriel des fonctions numériques continues sur un intervalle [a,b] de R; l'application qui, à toute fonction f de F, associe l'intégrale
f(t)dt est une
forme linéaire sur F.   
 
Soit f : R2
R
, f(x,y) = xy; f
n'est pas linéaire : on n'a ni l'homogénéité, ni l'additivité. On donnera des contre-exemples numériques à foison...   
 
Soit f : R2
R
, f(x,y) = x2/y si y non nul et 0 sinon. f
n'est pas linéaire : l'homogénéité est vérifiée mais pas l'additivité.   
 
Soit f : R2
R
, f(x,y) = xy; f
est linéaire : f[(x,y) + (x',y')] = f(x + x', y + y') = (x + x') + (y + y') = (x + y) + (x' + y') = f(x,y) + f(x',y'). f[l.(x,y)] = f(lx,ly) = lx + ly = l(x + y) = l.f(x,y).   
 
Soit g : R2
R
, g(x,y) = xy; g
n'est pas linéaire : par exemple g(1,1) = 1 et g(2,2) = 4; or g(2,2) peut s'écrire g[(1,1) + (1,1)]; si g était linéaire, nous devrions obtenir g(2,2) = g(1,1) + g(1,1) = 2. Notons d'ailleurs que g[l.(x,y)] = g(lx,ly) = l2xy distinct, en général, de lxy = l.g(x,y)   
 
Dans un espace vectoriel E, la translation de vecteur u non nul, définie par t(v) = v + u pour tout v de E n'est pas linéaire.   




   

   
   

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Dernière édition par Admin le Ven 24 Fév - 23:14 (2012); édité 1 fois
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MessagePosté le: Ven 24 Fév - 19:48 (2012)    Sujet du message: Publicité

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MessagePosté le: Ven 24 Fév - 19:57 (2012)    Sujet du message: applications linéaires Répondre en citant

Matrice d'une application linéaire, expression analytique


Lorsque E et F sont de dimensions finies n et p, de bases respectives B = (e1, ..., en) et B' = (e'1, ..., e'p), la linéarité d'une application f de E vers F permet d'écrire :   
Quel que soit v = x.e1 + y.e2 + ... :   f(v) = x . f(e1) + y . f(e2) + ...
et cette relation caractérise une application linéaire : se donner l'application linéaire f c'est se donner les vecteurs f(e1), f(e2), ... images par f des vecteurs de la base B = (e1, ..., en) de E.
 Reprenons le cas d'un plan vectoriel (espace vectoriel de dimension 2 sur R) rapporté à la base (i,j) et l'application f qui à tout vecteur v(x,y) associe v'(2x - y, x + y). On a i(1;0) et j(0;1). Donc les coordonnées de f(i) sont (2;1) et celles de f(j) sont (-1;1). C'est dire que f(i) = 2i + j et f(j) = -i + j. Par suite :   
f(v) = f(x.i + y.j) = x.f(i) + y.f(j) = x.(2i + j) + y.(-i + j) = (2x - y).i + (x + y).j

On retrouve que les coordonnées de v' = f(v) sont x' = 2x - y et  y' = x + y.
On appelle ainsi la liste des coordonnées x', y', ... de f(v) en fonction de celles de v. Les nombres x', y', ... sont des combinaisons linéaires de x, y, ... et ces formes caractérisent les applications linéaires.   
 Dans l'exemple ci-dessus, l'expression analytique de f dans la base (i,j) est donc donnée par x' = 2x - y , y' = x + y
Exprimés dans la base B' = (e'1, ..., e'p) de F,  les vecteurs f(ei) sont de la forme :   
Citation:
  • f(e1) = a11 . e'1 + a21 . e'2 + ... + ap1 . e'p
  • f(e2) = a12 . e'1 + a22 . e'2  + ...+ ap2 . e'p
  • f(e3) = a13 . e'1 + a23 . e'2 + ... + ap3 . e'p
  • ...
  • f(en) = a1n . e'1 + a2n . e'2 + ... + apn . e'p
On appelle alors matrice de f dans les bases B et B', le tableau, mis entre parenthèses, des cordonnées de ces images :   
 
        
Cayley   
C'est une matrice à p lignes et n colonnes (matrice p x n). Si on appelle Mf,B,B' cette matrice, on écrit souvent pour simplifier (en notant toujours en premier l'indice des lignes ici : i) :   
Mf,B,B' = (aij)i=1,..p ; j=1,..n Lorsque n = p, on parle de matrice carrée d'ordre n. Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on note simplement Mf , voire M, au lieu de Mf,B,B'. Voici un exemple :

Dans un espace vectoriel E de dimension 3 sur R, rapporté à la base B = (i, j, k), on considère l'application linéaire f qui à tout vecteur v(x, y, z) associe le vecteur v'(x - 2y + z, -x - y + 2z, -x + y). Calculer f(i), f(j) et f(k) et donner la matrice de f dans la base B. 
 

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cour 1

 

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